Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）題中的拋物線上有一個動點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=8，并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+1，4），（﹣2+1，4），（1，﹣4）；（3）存在， Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）．

【解析】(1)∵拋物線y=x2+bx+c與軸的兩個交點(diǎn)分別為A(-1,0)，B(3,0)

∴┄ 2分

解之，得┄ 3分

∴所求拋物線的解析式為：y=x2-2x-3 ┄ 4分

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，由題意，得

S△ABC=×4×|y|=8 ┄ 5分

∴|y|=4， ∴ y=±4 ┄ 6分

當(dāng)y=4時， x2-2x-3=4 ∴ x1=1+, x2=1-┄ 7分

當(dāng)y=-4時，x2-2x-3=-4 ∴ x=1 ┄ 8分

∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、(1,-4)時，S△PAB="8." ┄ 9分

(3) 解法1：

在拋物線y=x2-2x-3的對稱軸上存在點(diǎn)Q, 使得ΔQAC的周長最小. ┄ 10分

∵AC長為定值，∴要使ΔQAC的周長最小，只需QA+QC最小.

∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B(3,0),

拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3)

∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn) ┄ 11分

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3.

∵直線BC過點(diǎn)B(3,0) ∴ 3k-3=0 ∴ k=1.

∴直線BC的解析式為 y=x-3 ┄ 12分

∴當(dāng)x=1時，y=-2.

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2). ┄ 13分

(3) 解法2：

在拋物線y=x2-2x-3的對稱軸上存在點(diǎn)Q ，使得ΔQAC的周長最小. ┄ 10分

∵AC長為定值，∴要使ΔQAC的周長最小，只需QA+QC最小

∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B(3,0),

拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3)

∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn). ┄ 11分

∵OC∥DQ,

∴ΔBDQ∽ΔBOC.

∴，即. ┄ 12分

∴DQ=2. ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2). ┄ 13分

（1）已知了拋物線過B、C兩點(diǎn)，而拋物線的解析式中也只有兩個待定系數(shù)，因此可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就出了二次函數(shù)的解析式．

（2）根據(jù)（1）中得出的拋物線的解析式，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能得出AB的長．△PAB中，AB的長為定值，那么可根據(jù)△PAB的面積求出P到AB的距離，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，然后將其代入拋物線的解析式中（分正負(fù)兩個值）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，已知了B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此只需連接BC，直線BC與對稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)．可根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．