Question

【題目】如圖,Rt△OAC是一張放在平面直角坐標系中的直角三角形紙片,點O與原點重合,點A在x軸上,點C在y軸上,OA和OC是方程x(3+)x+3=0的兩根(OA>OC),∠CAO=30°，將Rt△OAC折疊，使OC邊落在AC邊上，點O與點D重合，折痕為CE.

(1)求點D的坐標；

(2)設點M為直線CE上的一點,過點M作AC的平行線,交y軸于點N,是否存在這樣的點M，使得以M、N、D. C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D(,)；（2）M( ,)；

【解析】

（1）由折紙可以知道CD=OC，從而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D點的坐標．

（2）存在滿足條件的M點，利用三角形全等和平行線等分線段定理可以求出M點對應的坐標．

(1) 解方程x(3+)x+3=0得：

x =,x=3

∵OA>OC

∴OA=3,OC=；

在Rt△AOC中，由勾股定理得：

AC= =2，

由軸對稱得：CO=CD=，作DF⊥OA于F，

∴AD=,作DF⊥OA,且∠CAO=30°，

∴DF=，由勾股定理得：

AF= ，

∴OF=，∴OF=AF

∴D(,)；

(2)∵MN∥AC，

∠NMF=∠ADF,∠FNM=∠FAD

∵OF=AF

∴△ADF≌△NMF(AAS)，

∴MF=DF=,NF=AF=，

∴M (, )，作MG⊥OA，

∵四邊形MCDN和四邊形CNMD是平行四邊形

∴MC=ND,ND=CM∴MC=CM

∴GO=OF=，OE=1

∴GE= ，

∴EOC△∽△EGM

∴

∴ 解得：

MG= ，

∴M( ,)