Question

【題目】直角三角板ABC的直角頂點C在直線DE上，CF平分∠BCD．

（1）在圖1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度數；

（2）在圖1中，若∠BCE=α，直接寫出∠ACF的度數（用含α的式子表示）；

（3）將圖1中的三角板ABC繞頂點C旋轉至圖2的位置，探究：寫出∠ACF與∠BCE的度數之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ACF=20°；（2）∠ACF=α；（3）∠ACF=∠BCE．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由∠ACB=90°，∠BCE=40°，可得∠ACD，∠BCD的度數，再根據CF平分∠BCD，可得∠DCF的度數，繼而可求得∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=20°；

（2）由∠ACB=90°，∠BCE=α°，可得∠ACD=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，再根據CF平分∠BCD，從而可得∠DCF=90°﹣α，繼而可得∠ACF=α；

（3）由點C在DE上，可得∠BCD=180°﹣∠BCE，再根據CF平分∠BCD，可得∠BCF=90°-∠BCE，再根據∠ACB=90°，從而有∠ACF=∠BCE．

試題解析：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠BCE=40°，

∴∠ACD=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BCD=180°﹣40°=140°，

又CF平分∠BCD，

∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=70°，

∴∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=70°﹣50°=20°；

（2）如圖1，∵∠ACB=90°，∠BCE=α°，

∴∠ACD=180°﹣90°﹣α°=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，

又CF平分∠BCD，

∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=90°﹣α，

∴∠ACF=90°﹣α﹣90°+α=α；

（3）∠ACF=∠BCE．理由如下：

如圖2，∵點C在DE上，

∴∠BCD=180°﹣∠BCE．

∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠BCD=（180°﹣∠BCE）=90°-∠BCE．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=90°﹣（90°-∠BCE）=∠BCE．

即：∠ACF=∠BCE．