Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O為BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊和BC邊分別交于點D、點E，連接CD，且CD=CA，BD=6

5

，tan∠ADC=2．
（1）求證：CD是半圓O的切線；
（2）求半圓O的直徑；
（3）求AD的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A，
在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠1=90°，
∴∠ADC+∠2=90°，
∴∠CDO=90°，
∵OD為半圓O的半徑，
∴CD為半圓O的切線；

（2）如圖，連接DE，
∵BE為半圓O的直徑，
∴∠EDB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ADC=∠3，
∴tan∠3=

BD

ED

=2，
∴ED=3

5

，
∴EB=

BD2+DE2

=15；

（3）作CF⊥AD于點F，
∵CD=CA，
∴AD=2AF=2DF，
設DF=x，
∵tan∠ADC=2，
∴CF=2x，
∵∠1+∠FCB=90°，
∴∠FCB=∠ADC，
∴tan∠FCB=2，
∴FB=4x，
∴BD=3x=6

5

，
解得x=2

5

，
∴AD=2DF=2x=4

5

．