Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE=CF，AD+EC=AB．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數；

（3）△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？

（4）請你猜想：當∠A為多少度時，∠EDF+∠EFD=120°，并請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠DEF=70°； （3）△DEF不可能是等腰直角三角形，理由見解析；（4）當∠A=60°時，∠EDF+∠EFD=120°，理由見解析.

【解析】

（1）首先根據條件證明△DBE≌△ECF，根據全等三角形的性質可得DE=FE，進而可得到△DEF是等腰三角形；

（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF，再由角之間的轉化，從而可求解∠DEF的大小；（3）由于AB=AC，可得∠B=∠C≠90°=∠DEF，從而可確定其不可能是等腰直角三角形；

（4）先猜想出∠A的度數，則可得∠EDF+∠EFD=120°，根據前面的推導過程知∠EDF+∠EFD=120°時，∠DEF=60°，再由∠B=∠DEF以及等腰三角形的性質繼而推得猜想的正確性.

（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AD+EC=AB，AB=AD+BD，

∴BD=CE，

在△BDE和△CEF中，

，

∴△BDE≌△CEF（SAS）

∴DE=EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，

即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，

由（1）知△BDE≌△CEF，

則∠BDE=∠CEF，

∴∠DEF=∠B，

∵∠A=40°，

∴∠B=∠C==70°，

∴∠DEF=70°；

（3）△DEF不可能是等腰直角三角形，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C≠90°，

由（2）知∠DEF=∠B，

∴∠DEF=∠B≠90°，

∴△DEF不可能是等腰直角三角形；

（4）當∠A=60°時，∠EDF+∠EFD=120°，

理由是：當∠EDF+∠EFD=120°時，

則∠DEF=180°-120°=60°，

∴∠B=∠DEF=60°，

∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，

∴當∠A=60°時，∠EDF+∠EFD=120°.