Question

【題目】如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BCD=120°，AC平分∠BCD.

(1)求證：△ABD是等邊三角形；

(2)若BD=6cm，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】【試題分析】（1）因為AC平分∠BCD，∠BCD=120°, 根據角平分線的定義得：∠ACD=∠ACB=60°. 根據同弧所對的圓周角相等，得∠ACD=∠ABD, ∠ACB=∠ADB , ∠ABD=∠ADB=60°.根據三個角是60度的三角形是等邊三角形得，△ABD是等邊三角形.

(2)作直徑DE,連結BE ，由于△ABD是等邊三角形,則∠BAD=60°同弧所對的圓周角相等，得∠BED=∠BAD=60°.因為DE是直徑,根據直徑所對的圓周角是直角得，∠EBD=90°.

則∠EDB=30°，30度所對的直角邊是斜邊的一半，得DE=2BE .

設EB=x,則ED=2x,根據勾股定理得，（2x）2-x2=62.

解得： ，即.

【試題解析】

（1）∵AC平分∠BCD，∠BCD=120° ,

∴∠ACD=∠ACB=60°.

∵∠ACD=∠ABD, ∠ACB=∠ADB .

∴∠ABD=∠ADB=60°.

∴△ABD是等邊三角形.

(2)作直徑DE,連結BE

∵△ABD是等邊三角形,

∴∠BAD=60°

∴∠BED=∠BAD=60°

∵DE是直徑,

∴∠EBD=90°.

∴∠EDB=30°.

∴DE=2BE .

設EB=x,則ED=2x,

∴（2x）2-x2=62.

∵x＞0.

∴.

∴

即.