Question

【題目】已知拋物線y1=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（4，0）．

（1）求拋物線y1的函數解析式；
（2）如圖①，將拋物線y1沿x軸翻折得到拋物線y2 ， 拋物線y2與y軸交于點C，點D是線段BC上的一個動點，過點D作DE∥y軸交拋物線y1于點E，求線段DE的長度的最大值；
（3）在（2）的條件下，當線段DE處于長度最大值位置時，作線段BC的垂直平分線交DE于點F，垂足為H，點P是拋物線y2上一動點，⊙P與直線BC相切，且S⊙P：S△DFH=2π，求滿足條件的所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A（﹣1，0）和點B（4，0）代入y1=ax2+bx﹣4得：a=1，b=﹣3，

∴拋物線y1的函數解析式為：y1=x2﹣3x﹣4；

（2）解：由對稱性可知，拋物線y2的函數解析式為：y2=﹣x2+3x+4，

∴C（0，4），設直線BC的解析式為：y=kx+q，

把B（4，0），C（0，4）代入得，k=﹣1，q=4，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+4，

設D（m，﹣m+4），E（m，m2﹣3m﹣4），其中0≤m≤4，

∴DE=﹣m+4﹣（m2﹣3m﹣4）=﹣（m﹣1）2+9，

∵0≤m≤4，∴當m=1時，DEmax=9；

此時，D（1，3），E（1，﹣6）；

（3）解：由題意可知，△BOC是等腰直角三角形，

∴線段BC的垂直平分線為：y=x，

由（2）知，直線DE的解析式為：x=1，

∴F（1，1），

∵H是BC的中點，

∴H（2，2），

∴DH= ，FH= ，

∴S△DFH=1，

設⊙P的半徑為r，

∵S⊙P：S△DFH=2π，
∴r= ,

∵⊙P與直線BC相切，

∴點P在與直線BC平行且距離為 的直線上，

∴點P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上，

∵點P在拋物線y2=﹣x2+3x+4上，

∴﹣x+2=﹣x2+3x+4，

解得：x1=2+ ，x2=2﹣ ，

﹣x+6=﹣x2+3x+4，

解得：x3=2+ ，x4=2﹣ ，

∴符合條件的點P坐標有4個，分別是（2+ ，﹣ ），（2﹣ ， ），（2+ ，4﹣ ），（2﹣ ，4+ ）．

【解析】（1）（1）把A（﹣1，0）和點B（4，0）坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法即可求出；（2）關于x軸翻折后的解析式可套用點關于x軸對稱坐標變換方法即x不變，y變為其相反數-y ,-y=x2﹣3x﹣4,即y2=﹣x2+3x+4；豎直線段的最值問題可以化歸為函數最值問題，須構建以動點D的橫坐標m為自變量，DE長為因變量的函數，豎直線段等于上、下兩端點的縱坐標之差來表示，二次函數最值問題可用配方法解決；（3）利用互垂直線的斜率積=-1求出BC的垂直平分線的解析式，由S⊙P：S△DFH=2π，得r= ,，由⊙P與直線BC相切，可知點P在與直線BC平行且距離為 的直線上，由點P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上，點P在拋物線y2=﹣x2+3x+4上，聯立解析式﹣x+2=﹣x2+3x+4和﹣x+6=﹣x2+3x+4，分別解方程即可.