Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則∠APB＝_____°．

Answer 1

【答案】150°

【解析】

連結(jié)PQ，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ＝AP＝6，接著證明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝10，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，于是得到結(jié)論．

連結(jié)PQ，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC＝60，AB＝AC，

∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ，

∴AP＝PQ＝6,∠PAQ＝60，

∴△APQ為等邊三角形，

∴PQ＝AP＝6，

∵∠CAP＋∠BAP＝60,∠BAP＋∠BAQ＝60，

∴∠CAP＝∠BAQ，

在△APC和△AQB中，

，

∴△APC≌△AQB，

∴PC＝QB＝10，

在△BPQ中,

∵PB2＝82＝64,PQ2＝62,BQ2＝102，

而64＋36＝100，

∴PB2＋PQ2＝BQ2，

∴△PBQ為直角三角形,∠BPQ＝90，

∴∠APB＝90＋60＝150.