Question

【題目】如圖，直徑為10的半圓O，tan∠DBC= ，∠BCD的平分線交⊙O于F，E為CF延長線上一點，且∠EBF=∠GBF．

（1）求證：BE為⊙O切線；
（2）求證：BG2=FGCE；
（3）求OG的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由同弧所對的圓周角相等得∠FBD=∠DCF，

又∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF，

已知∠EBF=∠GBF，

∴∠EBF=∠∠BCF，

∵BC為⊙O直徑，

∴∠BFC=90°，

∴∠FBC+∠FCB=90°，

∴∠FBC+∠EBF=90°，

∴BE⊥BC，

∴BE為⊙O切線

（2）證明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，

∴△BEF∽△CEB，

∴BE2=EFCE，

又∠EBF=∠GBF，BF⊥EG，

∴∠BFE=∠BFG=90°，

在△BEF與△BGF中， ，

∴△BEF≌△BGF，

∴BE=BG，EF=FG，

∴BG2=FGCE

（3）解：如圖，過G作GH⊥BC于H，

∵CF平分∠BCD，

∴GH=GD，

∵tan∠DBC= ，

∴sin∠DBC= ，

∵BC=10，

∴BD=8，BG=BD﹣GD=8﹣GD，

∴ = ，

∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，

∵BC=10，∴OH=OB﹣BH=1，

在Rt△OGH中，由勾股定理得OG= ．

【解析】（1）首先依據圓周角定理得到∠FBD=∠DCF，結合角平分線的定義可證明∠EBF=∠∠BCF，故此可得到BE⊥BC；
（2）由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，然后依據相似三角形的性質得到BE2=EFCE，得到∠BFE=∠BFG=90°，故此可證明△BEF≌△BGF，根據全等三角形的性質得到BE=BG，EF=FG，最后，通過等量代換可得到問題的答案；
（3）過G作GH⊥BC于H，首先依據角平分線的性質得到GH=GD，接下來，在依據三角函數的定義得到==從而可求得DG的長，最后，在依據勾股定理求解即可.
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．