Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（2，0）、B（﹣4，0）兩點，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F，G分別在線段BC、AC上．

（I）求拋物線的解析式；

（II）若點D的坐標為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數關系式，并指出m的取值范圍；

（III）當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=kDF．若點M在拋物線上，求k的值．

Answer 1

【答案】（I）y=x2+x﹣4；（II）S矩形DEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2）；（III）點M在拋物線上，此時k的值是：k=．

【解析】

(I)用待定系數法，將A、B的坐標代入y=ax2+bx﹣4，即可得到拋物線的解析式；

(II)表示出矩形的長和寬是解題的關鍵，由△ADG∽△AOC，從而=，得到DG=4-2m，由△BEF∽△BOC，從而=，得到DE=3m，因而得到S與m的函數關系式；

(III)當矩形的面積s取最大值時，就是函數的值是最大值時，根據二次函數的性質就可以求出相應的m的值，則矩形的四個頂點的坐標就可以求出，利用待定系數法就可以求出直線DF的解析式，便可求出直線DF與拋物線的交點M坐標，過M作x軸的垂線交x軸于H，有△OEF∽△OHM，則根據FM=kDF，即k==，便可求出k的值.

（I）∵拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（2，0）、B（﹣4，0）兩點，

∴，

解得：，

故拋物線解析式為：y=x2+x﹣4；

（II）由題意，=，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，

故DG=4﹣2m，

又=，EF=DG，得BE=4﹣2m，

∴DE=3m，

∴S矩形DEFG=DGDE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2）．

（III）∵S矩形DEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2），

∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6．

當矩形面積最大時，其頂點為D（1，0），G（1，﹣2），F（﹣2，﹣2），E（﹣2，0），

設直線DF的解析式為y=kx+b，

則，

解得；，

∴y=x﹣，

又拋物線P的解析式為：y=x2+x﹣4，

令x﹣=x2+x﹣4，可求出x=

設射線DF與拋物線P相交于點M，則M的橫坐標為，

過M作x軸的垂線交x軸于H，

有k====，

點M在拋物線上，此時k的值是：k=．

故答案為：（I）y=x2+x﹣4；（II）S矩形DEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2）；（III）點M在拋物線上，此時k的值是：k=．