Question

【題目】如圖，已知⊙O 的直徑 AB 垂直弦 CD 于點 E，連接 CO 并延長交 AD于點 F，且 CF⊥AD

（1）求證：點 E 是 OB 的中點；

（2）若 AB=12，求 CD 的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）6

【解析】

（1）如圖，連接AC．想辦法證明△ACD是等邊三角形，推出∠OCE=30°即可解決問題；
（2）根據垂徑定理CD=2EC，求出EC即可解決問題；

（1）證明：如圖，連接 AC．

∵AB⊥CD 于點 E，

∴CE=DE，

在△ACE 和△ADE 中，

，

∴△ACE≌△ADE（SAS），

∴AC=AD，

同理：CA=CD，

∴△ACD 是等邊三角形，

∴∠OCE=30°，

∴OE= OC

而 OB=OC，

∴OE= OB．

故 E 是 OB 的中點．

（2）解：∵AB=12，

∴OC=6，

∴OE= OC=3，

在 Rt△OCE 中，

CE= = =3，

∴CD=2CE=6 ．