Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明；

（3）在平移變換過程中，設y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA=OP，OA⊥OP；（3）當P點在B點右側時， y=；當P點在B點左側時， y=；當x=2時，y有最大值為2．

【解析】

試題分析：（1）四邊形APQD為平行四邊形；

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，在△AOB和△OPQ中，∵AB=PQ，∠ABO=∠PQO，BO=QO，∴△AOB≌△OPQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠PQO，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；

（3）如圖，過O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當P點在B點右側時，則BQ=x+2，OE=，∴y=×x=，即，又∵0≤x≤2，∴當x=2時，y有最大值為2；

②如圖2，當P點在B點左側時，則BQ=2﹣x，OE=，∴y=×x=，即，又∵0≤x≤2，∴當x=1時，y有最大值為；

綜上所述，當P點在B點右側時， y=；當P點在B點左側時， y=；

∴當x=2時，y有最大值為2；