Question

【題目】如圖1，△ABC和△DCE是兩個全等的等腰三角形，BC，CE為底邊．


（1）將圖1中的△DCE繞C點順時針方向旋轉至∠BCE=∠ACB的位置，分別延長AB，DE交于點F（如圖2），此時，四邊形BCEF為何種四邊形？請證明你的結論；
（2）如果將圖1中的△DCE繞C點順時針旋轉至∠BCE=2∠ACB的位置，連接AD，BE（如圖3），證明四邊形ABED為矩形；
（3）在（2）的條件下，四邊形ABED有無可能成為正方形？如果有可能成為正方形，求出∠ABC的度數為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：四邊形BCEF是菱形，

理由：∵△ABC和△DCE是兩個全等的等腰三角形，BC，CE為底邊．

∴BC=CE，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，

∵∠BCE=∠ACB，

∴∠BCE=∠DEC，

∴BC∥DE，

∴∠ABC=∠F，

∴∠F=∠DEC

∴CE∥AB，

∴四邊形BCEF是平行四邊形，

∵BC=CE，

∴平行四邊形BCEF是菱形；

（2）

解：∵∠ABC=∠ACB，∠BCE=2∠ACB，

∴∠BCE=2∠ABC，

∵BC=CE，

∴∠CBE= （180°﹣∠BCE）= （180°﹣2∠ABC）=90°﹣∠ABC，

∴∠CBE+∠ABC=90°，

∴∠ABE=90°，

同理：∠BAD=∠ADE=90°，

∴四邊形ABED是矩形；

（3）

解：四邊形ABED能成為正方形，

∵四邊形ABED是正方形，

∴AB=AD，

∵AB=AC=CD，

∴AC=AD=CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，

∵∠BCE=2∠ACB，∠ABC=∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB+∠BCE+∠DCE+∠ACD=360°，

∴∠ABC+2∠ABC+∠ABC=300°，

∴∠ABC=75°，

【解析】（1）由全等得出∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，進而判斷出BC∥DE，即可得出∠ABC=∠F，進而得出CE∥AB，即可得出結論；（2）由等腰三角形的性質求出∠ABE=90°，同理：∠BAD=∠ADE=90°，即可得出結論；（3）由正方形得出AB=AD，進而得出△ACD是等邊三角形，即可求出∠ABC=75°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對菱形的判定方法的理解，了解任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．