Question

如圖，直線AB經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，AB=4，半徑OC的延長線與過點B的直線交于點D，OC=CD，BC=

1

2

OD．點Q為⊙O上一動點．
（1）若∠BCQ=45°，求弦CQ的長．
（2）在點Q運動的過程中，CQ的與直線AB相交于點P，問PO為何值時，△BCQ是等腰三角形；
（3）當Q點運動時，是否存在點P，使得QP=QO？若存在，滿足條件的點有幾個？并求出相應的∠BCP；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）如圖，過B作BH⊥CQ，Q為垂足，
∵OC=CD，BC=

1

2

OD．
∴△OCB為等邊三角形，BC=2，
∴∠COB=60°，
∴∠CQP=30°，
在Rt△BCH中，∠QCB=45°，
∴CH=BH=2×

1

2

=

2

，
在Rt△BQH中，HQ=

3

BH=

6

，
∴CQ=CH+QH=

2

+

6

；

（2）當BC為腰時，如圖，
∴OB垂直平分CQ，
∴PO=1（P點在點O右邊）；
當BC為底時（如圖），
過Q作BC的垂線必過圓心O，過C作CM⊥OB，M為垂足，
∵∠CQB=

1

2

∠COB=30°，
∴∠QCB=75°，
∴∠PCM=75°-30°=45°，
∴△CPM為等腰直角三角形，
∴PO=PM-OM=

3

-1；

（3）當P在OB之間時，∠BCP=40°；
當P在O點左邊時（如圖），∠BCP=100度．
當P點在B點右側，如圖，∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠P，
∴∠CQO=2∠P，
∴∠OCP=2∠P，
∴∠P=40°，
∴∠BCP=20°．