Question

（本題滿分10分，其中每小題各5分）
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D為BC中點，連結AD，過點D作DE⊥AD，交AB的延長線于E．

（1）若AD=，求△ABC的面積；
（2）求的值．

Answer 1

(1)S_△ABC=2.(2)=.

試題分析：解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°，∴AC=2AB      （1分）
設AB=k，則AC=2k，BC=k，∵D為BC中點，∴BD=DC=k
在Rt△ABD中，AB²+BD²=AD²，AD=
∴k²+(k)²=()²    （1分）
∴k=2       （1分）
∴AB=2，BC=2       （1分）
∴      （1分）
（2）∵AD⊥DE,∴∠ADE=90º，∴∠DAE+∠E=90º
∵∠ABC=90°，∴∠DAE+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠E      （1分）
∵∠ABD=∠DBE=90°，∴△ABD∽△DBE       （1分）
∴     （1分）
∴，∴    （1分）
∴     （1分）
點評：（1）問，應用了直角三角形特殊角與邊與邊之間的關系，由題意求出邊長易得到三角形的面積。（2）中根據已知可證得兩個三角形相似，利用相似比，可求出，本題難度不大，屬于基礎題。