Question

【題目】某數學興趣小組在數學課外活動中,研究三角形和正方形的性質時,做了如下探究：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合)，以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF.

(1)觀察猜想

如圖①，當點D在線段BC上時。

①BC與CF的位置關系為：___；

②BC,CD,CF之間的數量關系為：___;(將結論直接寫在橫線上)

(2)數學思考

如圖②，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立?若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明；

(3)拓展延伸

如圖③,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=,CD=BC，請求出GE的長。

Answer 1

【答案】（1）①垂直；②BC=CF+CD；(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC；（3）.

【解析】

（1）①根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；②由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據余角的性質即可得到結論；
（2）根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質以及等腰直角三角形的角的性質可得到結論．
（3）根據等腰直角三角形的性質得到BC=AB=4,AH=BC=2，求得DH=3，根據正方形的性質得到AD=DE，∠ADE=90°，根據矩形的性質得到NE=CM，EM=CN，由角的性質得到∠ADH=∠DEM，根據全等三角形的性質得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據等腰直角三角形的性質得到CG=BC=4，根據勾股定理即可得到結論．

(1)①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中,

AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

故答案為：垂直；

②△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

故答案為：BC=CF+CD；

(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中,

AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠ABD=180°45=135°，

∴∠BCF=∠ACF∠ACB=135°45°=90°，

∴CF⊥BC.

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC.

(3)過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵∠BAC=90，AB=AC，

∴BC=AB=4,AH=BC=2，

∴CD=BC=1,CH=BC=2，

∴DH=3，

由(2)證得BC⊥CF，CF=BD=5，

∵四邊形ADEF是正方形,

∴AD=DE,∠ADE=90，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH與△DEM中,

∠ADH=∠DEM，∠AHD=∠DME，AD=DE，

∴△ADH≌△DEM(AAS)，

∴EM=DH=3，DM=AH=2，

∴CN=EM=3，EN=CM=3，

∵∠ABC=45，

∴∠BGC=45，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=1，

∴EG=.