Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．

（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時(shí)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)

（2）△ABP最大面積s=; P（,-）

（3）存在；k=

【解析】

試題（1） 當(dāng)k=1時(shí)，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1，然后解方程組即可；

（2） 設(shè)P（x，x2﹣1）．過點(diǎn)P作PF∥y軸，交直線AB于點(diǎn)F，則F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，

，用含x的代數(shù)式表示為S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．（3） 設(shè)直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，用k分別表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，以及點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的長，假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，連接NQ，根據(jù)條件證明△EQN∽△EOF，然后根據(jù)性質(zhì)對應(yīng)邊成比例，可得關(guān)于k的方程，解方程即可.

試題解析：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1．

聯(lián)立兩個(gè)解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=x+1=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）． 4分

（2）設(shè)P（x，x2﹣1）．

如答圖2所示，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交直線AB于點(diǎn)F，則F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+

當(dāng)x=時(shí)，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣）． 8分

（3）設(shè)直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，

則E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，

則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，根據(jù)圓周角定理，此時(shí)∠OQC=90°．

設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．

∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴，即：，

解得：k=±，

∵k＞0，

∴k=．

∴存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k=． 12分