Question

【題目】如圖，長方形OABC在平面直角坐標系內(0為坐標原點)，點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標分別為(－2，2)，點E是BC的中點，點H在OA上，且AH＝，過點H且平行于y軸的HG與EB交于點G，現將長方形折疊，使頂點C落在HG上的D點處，折痕為EF，點F為折痕與y軸的交點.

(1)求點D的坐標；

(2)求折痕EF所在直線的函數表達式；

(3)若點P在直線AB上，當△PFD為等腰三角形時，試問滿足條件的點P有幾個?請求出點P的坐標，并寫出解答過程.

Answer 1

【答案】（1）D（-，）；（2）EF所在直線的函數表達式為：y=-x+；（3）存在．（-2,0）或 （-2，）或（-2，）.

【解析】

（1）由條件可以求出EC=EB=1，根據軸對稱的性質可以求出ED=1，利用三角函數值求出∠GED的度數，從而可以求出∠CEF的度數，利用勾股定理求得DG的值，則可以求出D點的坐標；
（2）利用三角函數值求出CF的值，從而求出F的坐標，設出直線EF的解析式，直接利用待定系數法求出其解析式就可以了；
（3）設點P在線段AB上，分類討論PD=PF,DF=FPA,DF=PD三種情況分類討論，即可.

解：(1)∵E是BC的中點，
∴EC=EB==1．
∵△FCE與△FDE關于直線EF對稱，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=，
∴EG=EB-AH=1-=．

在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG2=ED2-EG2=1-=
∴DG=

DH=AB-DG=-=
OH=OA-AH=2-=
故D（-，）

(2)∵cos∠GED==，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF==60°．
∴CF=ECtan60°=

∴OF=OC-CF=2-=
∴F（0，），E（-1，2）
設EF所在直線的函數表達式為y=kx+b，由圖象，得

，
解得：
故EF所在直線的函數表達式為：y=-x+；
(3)存在．

情況一：

點P1在直線AB上，連接P1D、P1F，作P1M⊥y軸交y軸于點M，交GH于點N，

當△P1FD為等腰三角形時，若P1D= P1F.

設FM=a,則OM=OF-a=-a

∵點B的坐標分別為(－2，2)，

∴P1M=2，MN=,DH=,P1M=2

∴P1N= P1M-MN=2-=

DN=DH-NH= DH-(OF-FM)= -(-a)= +a
∵△P1MF、△P1ND是直角三角形

∴在Rt△P1MF中，由勾股定理得，

在△P1ND中，由勾股定理得，

化簡得：

∵P1D= P1F.

∴=

解得

∴OM=OF-a=-a=0

∴P1（-2,0）與A點重合.

情況2：

點P1在直線AB上，連接P2D、P2F，作P2M⊥y軸交y軸于點M，交GH于點N，

作DN⊥y軸交y軸于點N.

設當△P2FD為等腰三角形時，若DF= P2F.

設FM=a,則OM=OF-a=-a

在Rt△P1MF中，由勾股定理得，

由情況1得，(已證)

∵點B的坐標分別為(－2，2)， ，OF=

∴NF=ON-OF=-=，DN=

∴在Rt△DFN中，由勾股定理得，

∵DF= P2F.

∴3=

(不符合題意，故舍去)

情況三：

點P3在直線AB上，連接P3D、P3F，作P3M⊥y軸交y軸于點M，交GH于點N，

作DN⊥y軸交y軸于點N.

設當△P3FD為等腰三角形時，若DF= P3D.

由情況2可知：(已證)

設P3（-2，b）

∴在Rt△P3ND中，由勾股定理得，

則

∵DF= P3D.

∴DF2= P3D2

則3=

解得或

所以P3坐標為（-2，）或（-2，）

所以，綜上所述存在，坐標是（-2,0）或 （-2，）或（-2，）