Question

【題目】在四邊形中ABCD，點E為AB邊上的一點，點F為對角線BD上的一點，且EF⊥AB．
（1）若四邊形ABCD為正方形．
①如圖1，請直接寫出AE與DF的數量關系；
②將△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE，DF，猜想AE與DF的數量關系并說明理由；

（2）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB，其它條件都不變，將△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，連接AE'，DF'，請在圖3中畫出草圖，并直接寫出AE'與DF'的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）[ "①DF= AE
②解:理由如下：
∵△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵ = ， = ，
∴ = ，
∴△ABE∽△DBF，
∴ = = ，
即DF= （2）

解：如圖3，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC=mAB，

∴BD= = AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴△BEF∽△BAD，

∴ = ，

∴ = = ，

∵△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴ = = ，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴ = = ，

即DF′= AE′．

【解析】解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴BF= AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF為等腰直角三角形，
BF= BE，
∴BD﹣BF= AB﹣ BE，
即DF= AE；
所以答案是DF= AE；