Question

如圖，在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直線AD于點E.

（1）當點E與D恰好重合時，求AD的長；
（2）當點E在邊AD上時（E不與A、D重合），設AD=x，ED=y，試求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（3）問：是否可能使△ABE、△CDE與△BCE都相似？若能，請求出此時AD的長；若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）3
（2），
（3）

解：（1）當點E與D重合時，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，
得△ABD∽△BDC，則，---------------------（2分）
∴，-----------------------------------------（1分）
則.------------------------------（1分）
（2）作BH⊥DC，H為垂足，
則∠ABE+∠EBH=, ∠EBH+∠HBC=，
∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=，
∴△ABE∽△HBC，------------------------------------（2分）
又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=，
∴，即，--------------------------（2分）
解得，定義域為.----------------------（1分）
（3）假設能使△ABE、△CDE與△BCE都相似，當點E在邊AD上時，（如圖1）

易知∠EBC=∠A=∠D=，
考慮∠1的對應角，容易得到∠1,∠1,
所以必有∠1=∠2=∠3=，
于是在△ABE、△CDE中，易得，,
∴,------------------------------------------（2分）
此時，,, BC="6," -----------------（1分）
即能使△ABE、△CDE與△BCE都相似；當點E在邊AD的延長線上時，（如圖2）

類似分析可得∠1=∠2=∠3=，可求得,--------（2分）
同樣能使△ABE、△CDE與△BCE都相似.