Question

如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線經過點A、B、C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其坐標為t，
①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似時，點P的坐標；
②是否存在一點P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）①P點的坐標為：（﹣1，4）或（﹣2，3）。
②當t=﹣時，S_△PCD的最大值為。

分析：（1）先求出A、B、C的坐標，再運用待定系數法就可以直接求出二次函數的解析式。
（2）①由（1）的解析式可以求出拋物線的對稱軸，分類討論當∠CEF=90°時，當∠CFE=90°時，根據相似三角形的性質就可以求出P點的坐標。
②先運用待定系數法求出直線CD的解析式，設PM與CD的交點為N，根據CD的解析式表示出點N的坐標，再根據S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面積，運用頂點式就可以求出結論。
解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，，∴OB=3OA=3．。
∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB。∴OC=OB=3，OD=OA=1。
∴A、B、C的坐標分別為（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式得，解得：。
∴拋物線的解析式為。
（2）①∵，∴對稱軸l為x=﹣1。
∴E點的坐標為（﹣1，0）。
當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（﹣1，4）。
當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于點M，則△EFC∽△EMP。
∴。∴MP=3EM．。
∵P的橫坐標為t，∴P（t，）。
∵P在二象限，∴PM=，EM=，
∴，解得：t₁=﹣2，t₂=﹣3（與C重合，舍去）。
∴t=﹣2時，。
∴P（﹣2，3）。
綜上所述，當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為：（﹣1，4）或（﹣2，3）。
②設直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得
，解得：。
∴直線CD的解析式為：y=x+1。
設PM與CD的交點為N，則點N的坐標為（t，t+1），∴NM=t+1。
∴。
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴。
∴當t=﹣時，S_△PCD的最大值為。