Question

【題目】如圖，M，N是以AB為直徑的⊙O上的點，且＝，弦MN交AB于點C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于點F．

（1）求證：MF是⊙O的切線；

（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CM＝.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和角平分線的定義證得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可證得OM⊥MF，即可證得結論；

（2）由勾股定理可求AB的長，可得AO，BO，ON的長，由勾股定理可求CO的長，通過證明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的長．

（1）連接OM，

∵OM＝OB，

∴∠OMB＝∠OBM，

∵BM平分∠ABD，

∴∠OBM＝∠MBF，

∴∠OMB＝∠MBF，

∴OM∥BF，

∵MF⊥BD，

∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，

∴MF是⊙O的切線；

（2）如圖，連接，

，

是直徑，，

，

，

，