Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B.

（1）求二次函數y＝ax2＋bx＋c的解析式.

（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D,問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？求P坐標及最大面積是多少？

（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5,（2）,P（,）;（3）M1(3，8),M2(1，8).

【解析】

（1）設出拋物線解析式，用待定系數法求解即可；

（2）先求出直線AB解析式，設出點P坐標（x，x2＋4x＋5），建立函數關系式S四邊形APCD＝2x2＋10x，根據二次函數求出極值；

（3）先判斷出△HMN≌△AOE，求出M點的橫坐標，從而求出點M的坐標．

（1）設拋物線解析式為y＝a（x2）2＋9，

∵拋物線與y軸交于點A（0，5），

∴4a＋9＝5，

∴a＝1，

y＝（x2）2＋9＝x2＋4x＋5，

（2）當y＝0時，x2＋4x＋5＝0，

∴x1＝1，x2＝5，

∴E（1，0），B（5，0），

設直線AB的解析式為y＝mx＋n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m＝1，n＝5，

∴直線AB的解析式為y＝x＋5；

設P（x，x2＋4x＋5），

∴D（x，x＋5），

∴PD＝x2＋4x＋5＋x5＝x2＋5x，

∵AC＝4，

∴S四邊形APCD＝×AC×PD＝2（x2＋5x）＝2x2＋10x，

∴當x＝時，S=，

∴即：點P（，）時，S四邊形APCD最大＝，

（3）如圖，

過M作MH垂直于對稱軸，垂足為H，

∵MN∥AE，MN＝AE，

∴△HMN≌△AOE

∴HM＝OE＝1，

∴M點的橫坐標為x＝3或x＝1，

當x＝1時，M點縱坐標為8，

當x＝3時，M點縱坐標為8，

∴M點的坐標為M1（1，8）或M2（3，8），