Question

【題目】如圖1，拋物線：交軸于點，，交軸于點.

（1）直接寫出當時，的取值范圍是____________；

（2）點在拋物線上，求的面積；

（3）如圖2，將拋物線平移，使其頂點為原點，得到拋物線，直線與拋物線交于、兩點，點是線段上一動點（不與、重合），試探究拋物線上是否存在點，點關于點的中心對稱點也在拋物線上.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）6；（3）拋物線上存在點，點關于點的中心對稱點也在拋物線上，理由見解析

【解析】

（1）由拋物線與坐標軸的交點坐標，依據函數圖象即可寫出y＞0時x的取值范圍；

（2）求出P點坐標為（4，5），可求出直線PC的解析式，求出直線PC與x軸的交點坐標D（，0），由S△PCB=S△BDC+S△BDP可求出答案；

（3）由題意得拋物線C1的解析式為y=x2，設N（a，4），且-2＜a＜2，設R（m，m2），由中心對稱的性質可表示K點的坐標，則得到關于m的方程，由此可判斷結論．

解：（1）∵拋物線與y軸交于（0，-3），與x軸交于B（3，0），A（-1，0），
∴當y＞0時，x的取值范圍為x＞3或x＜-1．

故答案為：或.

（2）將代入拋物線：中，

∴16-8-3=m，

∴，

∴，

設直線PC的解析式為y=kx+b，
∴ ，

解得

∴直線PC的解析式為y=2x-3

當y=0時，x= ，

∴直線：，則直線與軸的交點為，

∴DB=

∴.

（3）依題意得拋物線：，設，拋物線：上存在點，則點關于點成中心對稱的點的坐標為，

當在拋物線：上，

∴，

∴得到關于的一元二次方程，

∴，

∵，

∴，

∴關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根.

∴拋物線上存在點，點關于點的中心對稱點也在拋物線上