Question

【題目】對于平面直角坐標系中的兩個圖形K1和K2，給出如下定義：點G為圖形K1上任意一點，點H為K2圖形上任意一點，如果G，H兩點間的距離有最小值，則稱這個最小值為圖形K1和K2的“近距離”。如圖1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），邊長為的正方形PQMN，對角線NQ平行于x軸或落在x軸上．

（1）填空：

①原點O與線段BC的“近距離”為 ；

②如圖1，正方形PQMN在△ABC內，中心O’坐標為（m，0），若正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，則m的取值范圍為 ；

（2）已知拋物線C：，且-1≤x≤9，若拋物線C與△ABC的“近距離”為1，求a的值；

（3）如圖2，已知點D為線段AB上一點，且D（5，-2），將△ABC繞點A順時針旋轉α（0<α≤180），將旋轉中的△ABC記為△AB’C’，連接DB’，點E為DB’的中點，當正方形PQMN中心O’坐標為（5，-6），直接寫出在整個旋轉過程中點E運動形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”．

Answer 1

【答案】（1）①2；②；（2）或；（3）點E運動形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”為．

【解析】

（1）①由垂線段最短，即可得到答案；

②根據題意，找出正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，的臨界點，然后分別求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范圍；

（2）根據題意，拋物線與△ABC的“近距離”為1時，可分為兩種情況：當點C到拋物線的距離為1，即CD=1；當拋物線與線段AB的距離為1時，即GH=1；分別求出a的值，即可得到答案；

（3）根據題意，取AB的中點F，連接EF，求出EF的長度，然后根據題意，求出點F，點Q的坐標，求出FQ的長度，即可得到EQ的長度，即可得到答案．

解：（1）①∵B（9，2），C（，2），

∴點B、C的縱坐標相同，

∴線段BC∥x軸，

∴原點O到線段BC的最短距離為2；

即原點O與線段BC的“近距離”為2；

故答案為：2；

②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），

∴線段BC∥x軸，線段AC∥y軸，

∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，

當點N與點O重合時，點N與線段AC的最短距離為1，

則正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，

此時m為最小值，

∵正方形的邊長為，

由勾股定理，得：，

∴，（舍去）；

當點Q到線段AB的距離為1時，此時m為最大值，如圖：

∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形，

∴QM=，

∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=9，

∵△OEM是等腰直角三角形，

∴OE=OM=7，

∴m的最大值為：，

∴m的取值范圍為：；

故答案為：；

（2）拋物線C：，且，若拋物線C與△ABC的“近距離”為1，

由題可知，點C與拋物線的距離為1時，如圖：

∵點C的坐標為（，2），

∴但D的坐標為（，3），

把點D代入中，有

，

解得：；

當線段AB與拋物線的距離為1時，近距離為1，如圖：即GH=1，

點H在拋物線上，過點H作AB的平行線，線段AB與y軸相交于點F，作FE⊥EH，垂足為E，

∴EF=GH=1，

∵∠FDE=∠A=45°，

∴，

∵點A（-1，-8），B（9，2），設直線AB為，

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為：，

∴直線EH的解析式為：；

∴聯合與，得

，

整理得：，

∵直線EH與拋物線有一個交點，

∴，

解得：；

綜合上述，a的值為：或；

（3）由題意，取AB的中點F，連接EF，如圖：

∵點A（-1，-8），B（9，2），

∴，

在中，F是AD的中點，點E是的中點，

∴，

∵點D的坐標為（5，-2），A（-1，-8），

∴點F的坐標為（2，），

∵在正方形PNMQ中，中心點的坐標為（5，），

∴點Q的坐標為（6，），

∴，

∴；

∴點E運動形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”為．