Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，BN⊥CD于N．
（1）求證：∠ADC=∠ABD；
（2）求證：AD2=AMAB；
（3）若AM= ，sin∠ABD= ，求線段BN的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵直線CD切⊙O于點D，

∴∠CDO=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵OB=OD，

∴∠3=∠4，

∴∠ADC=∠ABD；

（2）證明：∵AM⊥CD，

∴∠AMD=∠ADB=90°，

∵∠1=∠4，

∴△ADM∽△ABD，

∴ ，

∴AD2=AMAB；

（3）解：∵sin∠ABD= ，

∴sin∠1= ，

∵AM= ，

∴AD=6，

∴AB=10，

∴BD= =8，

∵BN⊥CD，

∴∠BND=90°，

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，

∴∠DBN=∠1，

∴sin∠NBD= ，

∴DN= ，

∴BN= = ．

【解析】（1）連接OD，由切線的性質和圓周角定理即可得到結果；（2）由已知條件證得△ADM∽△ABD，即可得到結論；（3）根據三角函數和勾股定理代入數值即可得到結果．