Question

【題目】已知，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=8，DC=4，點M、N分別為邊AB、DC的中點，點P從點D出發，以每秒1個單位的速度從D→C方向運動，到達點C后停止運動，同時點Q從點B出發，以每秒3個單位的速度從B→A方向運動，到達點A后立即原路返回，點P到達點C后點Q同時停止運動，設點P、Q運動的時問為t秒，當以點M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，t的值為________。

Answer 1

【答案】1或1.5或3.5

【解析】

利用線段中點的定義求出DN，BM的長，再根據兩點的運動速度及運動方向，分情況討論：當0＜t≤2時，PN=2-t，MQ=4-3t或MQ=3t-4；當2＜t≤4時PN=t-2，MQ=12-3t，然后根據平行四邊形的判定定理，由題意可知當PN=MQ，以點M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，分別建立關于t的方程，分別求解即可

解：∵點M、N分別為邊AB、DC的中點，

∴DN=DC= ×4=2，

BM=AB=×8=4；

∵點P從點D出發，以每秒1個單位的速度從D→C方向運動，到達點C后停止運動，同時點Q從點B出發，以每秒3個單位的速度從B→A方向運動，點P到達點C后點Q同時停止運動，

∴DP=t，BQ=3t，

當0＜t≤2時，PN=2-t，MQ=4-3t或MQ=3t-4

當2＜t≤4時PN=t-2，MQ=12-3t

∵ AB∥CD

∴PN∥MQ；

∴當PN=MQ，以點M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴2-t=4-3t，或2-t=3t-4，或t-2=12-3t,

解之：t=1或t=1.5或t=3.5.

故答案為：t=1或1.5或3.5.