Question

【題目】探究與應用：在學習幾何時，我們可以通過分離和構造基本圖形，將幾何“模塊”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①）：

．

（1）請就圖①證明上述“模塊”的合理性；

（2）請直接利用上述“模塊”的結論解決下面兩個問題：

①如圖②，已知點，點在直線上運動，若，求此時點的坐標；

②如圖③，過點作軸與軸的平行線，交直線于點，求點關于直線的對稱點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

（1）根據余角的性質就可以求出∠B=∠DCE，再由∠A=∠D=90°，就可以得出結論；

（2）①作AG⊥x軸于點G，BH⊥x軸于點H，可以得出△AGO∽△OHB，可以得出，設點B的坐標為（x，-2x+3），建立方程求出其解就可以得出結論；

②過點E作EN⊥AC的延長線于點N，過點D作DM⊥NE的延長線于點M，設E（x，y），先可以求出C、D的坐標，進而可以求出DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，DE=AD=6，CE=AC=3．再由條件可以求出△DME∽△ENC，利用相似三角形的性質建立方程組求出其解就可以得出結論．

（1）證明：∵∠BCE=90°，

∴∠ACB+∠DCE=90°．

∵∠A=90°，

∴∠ACB+∠B=90°，

∴∠DCE=∠B．

∵∠A=∠D，

∴△ABC∽△DCE；

（2）①解：作軸，軸．

，

∴

∴，

∵點B在直線y=-2x+3上，

∴設點B的坐標為（x，-2x+3），

∴OH=x，BH=-2x+3，

∴，

，

，則，

∴；

②解：過點作軸，作，延長交于．

∵A（-2，1），

∴C點的縱坐標為1，D點的橫坐標為-2，

設C（m，1），D（-2，n），

∴1=-2m+3，n=-2×（-2）+3，

∴m=1，n=7，

∴C（1，1），D（-2，7）．

設．

，

∴．

，

，

代入得方程組為：

，解之得：．

．