Question

【題目】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做對垂四邊形．

觀察發現：如圖1，對垂四邊形ABCD四邊存在數量為： AD2+BC2＝AB2+CD2．

應用發現：如圖2，若AE，BD是△ABC的中線，AE⊥BD，垂足為O，AC=4，BC=6，求AB=

應用知識：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝，AB＝求GE長．

拓展應用：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點E、F、G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD=4，AB=3，求AF的長

Answer 1

【答案】應用發現：；應用知識：3；拓展應用：

【解析】

應用發現：連接DE，構成對垂四邊形，再根據對垂四邊形ABCD四邊存在數量關系進行計算即可；

應用知識：先證明CE⊥BG得到四邊形CGEB是對垂四邊形，再根據結論進行計算即可；

拓展應用：連接AC，EF交于H，AC與BE交于點Q，設BE與AF的交點為P，連接PH，先證明四邊形APHE是對垂四邊形和EP、AH是△AFE的中線，再根據對垂四邊形的性質求得AP的長度，從而求得AF的長度．

應用發現：

連接DE，如圖所示：

∵AE，BD是△ABC的中線，AC=4，BC=6，

∴AD=2，BE=3，DE=，

∵AE⊥BD，垂足為O，

∴四邊形ABED是對垂四邊形，

∴AB2+DE2=AD2+BE2，

∴AB2+=22+32，

∴AB=；

應用知識：

連接CG、BE，如圖所示：

∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是對垂四邊形，

∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC＝，AB＝，

∴BC=1，CG=，BE=，

∴22+=12+GE2，

∴GE=3；

拓展應用：

（3）如圖，連接AC，EF交于H，AC與BE交于點Q，設BE與AF的交點為P，連接PH，

∵點E、G分別是AD，CD的中點，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，

∴四邊形APHE是對垂四邊形，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分別是AD，BC的中點，
∴AE=AD，BF=BC，
∴AE=BFAD=2，
又∵AE∥BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴EF=AB=3，AP=PF，

∴EP分別是△AFE的中線，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH=FH，
∴AH分別是△AFE的中線，

∴PH=，EH=，

∵四邊形APHE是對垂四邊形，

∴PH2+AE2=EH2+AP2，

∴12+22=+AP2，

∴AP=，

又∵EP分別是△AFE的中線，

∴AF=2AP=．