Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線(xiàn)DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作射線(xiàn)QK⊥AB，交折線(xiàn)BC﹣CA于點(diǎn)G．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）D、F兩點(diǎn)間的距離是；
（2）射線(xiàn)QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線(xiàn)EF﹣FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線(xiàn)QK上時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）25
（2）解：射線(xiàn)QK能把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分．

如圖，連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，

∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，

∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，

∴QK過(guò)DF的中點(diǎn)O時(shí)，即過(guò)矩形CDEF的中點(diǎn)，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，

此時(shí)QH=OF=12.5．

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，

∴BC=40，

由BF=20，△HBF∽△CBA，可得HB=16．

故t= = =7 ．

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2 ≤t≤5）時(shí)，如圖，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得 = ，

即 = ．

∴t=4 ；

②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7 ）時(shí)，如圖，已知QB=4t，從而PB= = =5t，

由PF=7t﹣35，BF=20，可得5t=7t﹣35+20．

解得t=7 ．

綜上所述，t的值為4 或7 ．

【解析】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，
∴DF為△ABC的中位線(xiàn)，
∴DF= AB=25，
即D、F兩點(diǎn)間的距離是25，
所以答案是：25．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形中位線(xiàn)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)；三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．