Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx經過兩點A（﹣1，1），B（2，2）．過點B作BC∥x軸，交拋物線于點C，交y軸于點D．

（1）求此拋物線對應的函數表達式及點C的坐標；
（2）若拋物線上存在點M，使得△BCM的面積為 ，求出點M的坐標；
（3）連接OA、OB、OC、AC，在坐標平面內，求使得△AOC與△OBN相似（邊OA與邊OB對應）的點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得： ，解得 ，

故拋物線的函數表達式為y= x2﹣ x，

∵BC∥x軸，

設C（x0，2）．

∴ x02﹣ x0=2，解得：x0=﹣ 或x0=2，

∵x0＜0，

∴C（﹣ ，2）

（2）

解：設△BCM邊BC上的高為h，

∵BC= ，

∴S△BCM= h= ，

∴h=2，點M即為拋物線上到BC的距離為2的點，

∴M的縱坐標為0或4，令y= x2﹣ x=0，

解得：x1=0，x2= ，

∴M1（0，0），M2（ ，0），令y= x2﹣ x=4，

解得：x3= ，x4=

，∴M3（ ，0），M4（ ，4），

綜上所述：M點的坐標為：（0，0），（ ，0），（ ，0），（ ，4）

（3）

解：∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣ ，2），D（0，2），

∴OB=2 ，OA= ，OC= ，

∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ，

①如圖1，

當△AOC∽△BON時， ，∠AOC=∠BON，

∴ON=2OC=5，

過N作NE⊥x軸于E，

∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE，

在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD= ，

∴OE=4，NE=3，

∴N（4，3）同理可得N（3，4）；

②如圖2，

當△AOC∽△OBN時， ，∠AOC=∠OBN，

∴BN=2OC=5，

過B作BG⊥x軸于G，過N作x軸的平行線交BG的延長線于F，

∴NF⊥BF，

∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，

∴tan∠NBF=tan∠COD= ，

∴BF=4，NF=3，

∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1），

綜上所述：使得△AOC與△OBN相似（邊OA與邊OB對應）的點N的坐標是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）．

【解析】（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx求得拋物線的函數表達式為y= x2﹣ x，由于BC∥x軸，設C（x0 ， 2）．于是得到方程 x02﹣ x0=2，即可得到結論；（2）設△BCM邊BC上的高為h，根據已知條件得到h=2，點M即為拋物線上到BC的距離為2的點，于是得到M的縱坐標為0或4，令y= x2﹣ x=0，或令y= x2﹣ x=4，解方程即可得到結論；（3）解直角三角形得到OB=2 ，OA= ，OC= ，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ①如圖1，當△AOC∽△BON時，求得ON=2OC=5，過N作NE⊥x軸于E，根據三角函數的定義得到OE=4，NE=3，于是得到結果；②如圖2，根據相似三角形的性質得到BN=2OC=5，過B作BG⊥x軸于G，過N作x軸的平行線交BG的延長線于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到結論．本題主要考查的是二次函數與相似三角形的綜合應用，難度較大，解答本題需要同學們熟練掌握二次函數和相似三角形的相關性質．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．