Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2﹣3x+4與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），交y軸于點C．

（1）A點坐標為　 　，B點坐標為　 　，C點坐標為　 　；

（2）如圖1，D為B點右側拋物線上一點，連接AD，若tan∠CAD＝2，求D點坐標；

（3）E、F是對稱軸右側第一象限拋物線上的兩動點，直線AE、AF分別交y軸于M、N，如圖2．若OMON＝2，直線EF上有且只有一點P到原點O的距離為定值，求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)，B(4，0), C(0，4)；（2）(，)；（3）P(4，﹣1)

【解析】

（1）令y＝0解一元二次方程求出A、B點的坐標，令x＝0，求出C點的坐標；

（2）過C點作CE⊥AD于點E，則tan∠CAE＝2，先證明Rt△AOC≌Rt△AEC，再求出AD所在的直線解析式為y＝x﹣，最后聯立方程組求解D點坐標；

（3）設yAE＝k1x+b1，yAF＝k2x+b2，根據已知可求得k1k2＝，分別求出E與F點坐標，表示出EF所在直線解析式為：y＝（k1+k2+1）x﹣（4k1+4k2+5），直線EF經過的定點即為P點.

（1）令y＝x2﹣3x+4＝0，解得x1＝2，x2＝4，故A（2，0），B（4，0）；令x＝0，則y＝4，所以C點的坐標為（0，4）；

（2）如圖，過C點作CE⊥AD于點E，則tan∠CAE＝2，

由（1）知tan∠CAO＝＝2，

∴∠CAE＝∠CAO，

在Rt△AOC和Rt△AEC中，

∠CAE＝∠CAO，

∠AOC＝∠AEC＝90°，

AC＝AC，

∴Rt△AOC≌Rt△AEC（AAS）

∴CE＝4，AE＝2；

設E（m，n），

∴16＝m2+（n﹣4）2，4＝（m﹣2）2+n2，

∴m＝2n，

∴m＝，n＝，

∴E（，），

設AD所在的直線解析式為y＝kx+b，

把點A（2，0），E（，）代入，

解得，k＝，b＝，

∴y＝x﹣，與y＝x2﹣3x+4聯立解得，x1＝2，x2＝，

當x＝時，y＝

所以D點的坐標為（，）．

（3）設yAE＝k1x+b1，yAF＝k2x+b2，

經過點A（2，0），

∴yAE＝k1x﹣2k1，yAF＝k2x﹣2k1，

∴OM＝2k1，ON＝2k2，

∵OMON＝2，

∴k1k2＝，

直線AE與拋物線的交點為：x2﹣3x+4＝k1x﹣2k1，

∴E（4+2k1，2k12+2k1），F（4+2k2，2k22+2k2），

∴EF所在直線解析式為：y＝（k1+k2+1）x﹣（4k1+4k2+5），

∴EF直線過定點（4，﹣1），此點到原點的距離為定值，

∴P（4，﹣1）；