Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，F為邊AB的中點，DF與對角線AC交于點G，過G作GE⊥AD于點E，若AB＝2，且∠1＝∠2，則下列結論中一定成立的是_____（把所有正確結論的序號都填在橫線上）．①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四邊形BFGC＝﹣1．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①由四邊形ABCD是菱形，得出對角線平分對角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS證得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出①正確；

②由DF⊥AB，F為邊AB的中點，證得AD=BD，證出△ABD為等邊三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2ABcos∠BAC，AG，求出AC，AG，即可得出②正確；

③由勾股定理求出DF，由GE=tan∠2ED求出GE，即可得出③正確；

④由S四邊形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出數值，即可得出④不正確．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠FAG=∠EAG，AB=AD，BC∥AD，

∴∠1=∠GAD．

∵∠1=∠2，

∴∠GAD=∠2，

∴AG=GD．

∵GE⊥AD，

∴GE垂直平分AD，

∴AE=ED．

∵F為邊AB的中點，

∴AF=AE，

在△AFG和△AEG中，

∵，

∴△AFG≌△AEG(SAS)，

∴∠AFG=∠AEG=90°，

∴DF⊥AB，

∴①正確；

連接BD交AC于點O．

∵DF⊥AB，F為邊AB的中點，

∴AFAB=1，AD=BD．

∵AB=AD，

∴AD=BD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠BAD=∠BCD=60°，

∴∠BAC=∠1=∠2=30°，

∴AC=2AO=2ABcos∠BAC=2×22，

AG，

∴CG=AC﹣AG=2，

∴CG=2GA，

∴②正確；

∵GE垂直平分AD，

∴EDAD=1，

由勾股定理得：DF，

GE=tan∠2ED=tan30°×1，

∴DF+GEspan>CG，

∴③正確；

∵∠BAC=∠1=30°，

∴△ABC的邊AC上的高等于AB的一半，即為1，

FGAG，

S四邊形BFGC=S△ABC﹣S△AGF211，

∴④不正確．

故答案為：①②③．