Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B（﹣2，0），點(diǎn)C（8，0），與y軸交于點(diǎn)A．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式；
（2）連接AC，AB，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接OM，在（2）的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4可得 ，解得 ，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）（﹣2＜n＜8），

則BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣ x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，

∴點(diǎn)A（0，4），OA=4，

∴S△ABN= BNOA= （n+2）×4=2（n+2），

∵M(jìn)N∥AC，

∴ ，

∴ = = ，

∴ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)n=3時(shí)，即N（3，0）時(shí)，△AMN的面積最大

（3）

解：當(dāng)N（3，0）時(shí)，N為BC邊中點(diǎn)，

∵M(jìn)N∥AC，

∴M為AB邊中點(diǎn)，

∴OM= AB，

∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，

∴AB= AC，

∴OM= AC

【解析】（1）由B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)N（n，0），則可用n表示出△ABN的面積，由NM∥AC，可求得 ，則可用n表示出△AMN的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)n的值，即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由N點(diǎn)坐標(biāo)可求得M點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可得OM= AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分別求得AB和AC的長(zhǎng)，可求得AB與AC的關(guān)系，從而可得到OM和AC的數(shù)量關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時(shí)，拋物線開口向上; a<0時(shí)，拋物線開口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）．