Question

【題目】實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開(kāi)展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）若王詩(shī)嬑的身高為，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少？

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？

（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為，則高圓柱的高度為多少？

Answer 1

【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm

【解析】

（1）根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，結(jié)合橫截面分析可得；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，設(shè)FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)的比例，求出AH的長(zhǎng)度，即可得到AB.

解：（1）設(shè)王詩(shī)嬑的影長(zhǎng)為xcm，

由題意可得：，

解得：x=120，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=120是分式方程的解，

王詩(shī)嬑的的影子長(zhǎng)為120cm；

（2）正確，

因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽(yáng)光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過(guò)斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；

（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽(yáng)光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，

由題意可得：BC=100，CF=100，

∵斜坡坡度，

∴，

∴設(shè)FG=4m，CG=3m，在△CFG中，

，

解得：m=20，

∴CG=60，FG=80，

∴BG=BC+CG=160，

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，

∵同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm，

FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，

可知四邊形HBGF為矩形，

∴，

∴AH==200，

∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，

故高圓柱的高度為280cm.