Question

【題目】如圖，為的直徑，為弦的中點，連接并延長交弧于點，過點作，交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）連接、、．填空

①當的度數為_______時，四邊形為菱形；

②當時，四邊形的面積為_______．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①；②

【解析】

（1）根據為弦的中點證得FO⊥AC，再利用得到OD⊥DE即可得到結論；

（2）①連接、、，證明△AOD是等邊三角形，得到DF=FO，證得四邊形AOCD是平行四邊形，再由AO=CO，即可得到四邊形為菱形；

②連接CD，證明△AFO∽△ODE，得到，求出OD=2OF，DE=2AF，可證四邊形ACDE是平行四邊形，由勾股定理求出，即可求出四邊形ACDE的面積.

證明：（1）為弦的中點，

，且過圓心．

，

又，

．

是切線

（2）①當=時，四邊形AOCD是菱形，理由如下：

如圖，連接、、，

∵=，OF⊥AC，

∴∠AOF=60°，

∵AO=DO，

∴△AOD是等邊三角形，

∵AF⊥DO，

∴DF=FO，

∵AF=FC，

∴四邊形AOCD是平行四邊形，

∵AO=CO，

故答案為：；

②連接CD，

∵AC∥DE，

∴△AFO∽△ODE，

∴,

∴OD=2OF，DE=2AF，

∵AC=2AF，

∴DE=AC，且DE∥AC，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，

∵OA=AE=OD=2，

∴OF=DF=1，OE=4，

∵在Rt△ODE中，,

∴四邊形ACDE的面積=,

故答案為： .