Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，MN過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N.OD⊥AB，OE⊥AC.

(1)求證：OD=OE.

(2)若O為MN的中點，判斷△ABC的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）等腰三角形.

【解析】

（1）作OH⊥BC，根據角平分線的性質得到OD=OH,OE=OH,故OD=OE.

（2）根據O點為MN中點得到OM=ON，根據HL可證明Rt△MOD≌Rt△NOE,得到∠AMN=∠ANM,再根據平行得到∠ABC=∠ACB，即可得到△ABC為等腰三角形.

（1）作OH⊥BC，

∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，OD⊥AB，OE⊥AC.

∴OD=OH,OE=OH,

故OD=OE.

（2）∵O點為MN中點

∴OM=ON，

∵OD⊥AB，OE⊥AC.

∴△MOD與△NOE為Rt△，

又OD=OE，

∴Rt△MOD≌Rt△NOE（HL）

∴∠AMN=∠ANM,

∵MN∥BC

∴∠ABC=∠ACB，

故△ABC為等腰三角形.