Question

【題目】我們知道“對稱補缺”的思想是解決與軸對稱圖形有關的問題的一種重要的添加輔助線的策略，參考這種思想解決下列問題.

在△ABC中，D為△ABC外一點.

(1)如圖1，若AC平分∠BAD,CE⊥AB于點E，∠ B+∠ADC=180,求證：BC=CD;

(2)如圖2，若∠ACB=90°, AC=BC，F是AC上一點，AD⊥BF交BF延長線于點D，且BF是∠CBA的角平分線.求證：2AD=BF.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

（1）在AB上取點G，使AG=AD，證明△ADC≌△AGC得DC=GC ，∠CDA=∠CGA, 可證∠B=∠CGE得到CB = CG，從而得到結論；

（2）分別延長AD、BC交于點H，證明△ADB≌△BDH，得∠DAB=∠DHB,AB=BH ，所以△ABH為等腰三角形，證得2AD=AH，再證明BF= AH即可得證.

(1) 證明：在AB上取點G，使AG=AD

∵AC平分∠BAD

∠DAC=∠GAC,

在△ADC與△AGC中

AD＝BD，

∠DAC=∠GAC,

AC=AC(公共邊)

△ADC≌△AGC (SAS)

DC=GC

∠CDA=∠CGA,

又∵∠ B+∠ADC=180,∠ CGE+∠AGC=180,

∠ B =∠ CGE

CB = CG

又∵DC=GC

CB=DC

(2) 證明：分別延長AD、BC交于點H，

∵BD平分∠CBA

∠DBC=∠ABD,

∵AD⊥BF交BF延長線于點D

∠ADB=∠HDB=90°,

在△ADB與△BDH 中

∠ADB=∠HDB

BD=BD

∠DBC=∠ABD,

△ADB≌△BDH

∠DAB=∠DHB,AB=BH

△ABH為等腰三角形

又∵BD平分∠CBA

AD=DH，即2AD=AH

∵∠ACB=90°, AC=BC，

∠B=∠CAB=45°,

∠DAB=(180° - ∠B )=90°-22.5°=67.5,

∠HAC=22.5°=∠CBD

在△ACH與△BCF 中

∠HAC=∠DBC

AC=CB

∠ACH=∠BDA

△ACH≌△BCF

BF= AH

又∵2AD=AH，

2AD=BF