Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx﹣5的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A坐標為(﹣1，0)，一次函數y＝x+k的圖象經過點B、C．

（1）試求二次函數及一次函數的解析式；

（2）如圖1，點D(2，0)為x軸上一點，P為拋物線上的動點，過點P、D作直線PD交線段CB于點Q，連接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求點P的坐標；

（3）如圖2，點E為拋物線位于直線BC下方圖象上的一個動點，過點E作直線EG⊥x軸于點G，交直線BC于點F，當EF+CF的值最大時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5，y＝x﹣5；（2）(，)或(，)或(2，﹣9)或(3，﹣8)；（3）E(3，﹣8)

【解析】

（1）首先確定點C的坐標，代入一次函數求出k，可得點B的坐標，設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，構建方程求出a即可解決問題．

（2）分兩種情形：①當點P在直線BC的上方時，如圖2﹣1中，作DH∥BC交y軸于H，過點D作直線DT交y軸于T，交BC于K，作PT∥BC交拋物線于P，直線PD交拋物線于Q．②當點P在直線BC的下方時，如圖2﹣2中，分別求解即可解決問題．

（3）設E（m，m2﹣4m﹣5），則F（m，m﹣5），構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣5的圖象與y軸交于點C，

∴C（0，﹣5），

∵一次函數y＝x+k的圖象經過點B、C，

∴k＝﹣5，

∴B（5，0），

設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，

∴﹣5a＝﹣5，

∴a＝1，

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣4x﹣5，一次函數的解析式為y＝x﹣5．

（2）①當點P在直線BC的上方時，如圖2﹣1中，作DH∥BC交y軸于H，過點D作直線DT交y軸于T，交BC于K，作PT∥BC交拋物線于P，直線PD交拋物線于Q．

∵S△CPD＝3S△CQD，

∴PD＝3DQ，

∵PT∥DH∥BC，

∴，

∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），

∴OA＝OB＝5，OD＝OH＝2，

∴HC＝3，

∴TH＝9，OT＝7，

∴直線PT的解析式為y＝x+7，

由，解得或，

∴P（，）或（，），

②當點P在直線BC的下方時，如圖2﹣2中，

當點P與拋物線的頂點（2，﹣9）重合時，PD＝9．DQ＝3，

∴PQ＝3DQ，

∴S△CPD＝3S△CQD，

過點P作PP′∥BC，此時點P′也滿足條件，

∵直線PP′的解析式為y＝x﹣11，

由，解得或，

∴P′（2，﹣9），P′（3，﹣8），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（，）

或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．

（3）設E（m，m2﹣4m﹣5），則F（m，m﹣5），

∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，

∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3時，EF+CF的值最大，此時E（3，﹣8）．