Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB＝10，tanA＝．

（1）求弦AC的長；

（2）D是AB延長線上一點，且AB＝kBD，連接CD，若CD與⊙O相切，求k的值；

（3）若動點P以3cm/s的速度從A點出發，沿AB方向運動，同時動點Q以cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動，設運動時間為t （0＜t＜），連結PQ．當t為何值時，△BPQ為Rt△？

Answer 1

【答案】（1）5；（2）2；（3）秒或秒

【解析】

（1）先利用特殊角的三角函數求出∠A，進而求出AC；

（2）先求出∠BOC＝60°，進而得出∠D＝30°，進而求出OD，即可求出BD，即可得出結論；

（3）先判斷出點P在線段AB上，點Q在線段BC上，再分∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，最后用三角函數建立方程求解即可得出結論．

解：（1）∵⊙O的直徑AB＝10，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，tanA＝，

∴∠A＝30°，

∴AC＝ABcosA＝10cos30°＝10×＝5，

即弦AC的長為5；

（2）如圖1，連接OC，

由（1）知，∠A＝30°，

∴∠BOC＝2∠A＝60°，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD＝90°，

∴∠D＝90°﹣60°＝30°，

∵OB＝OC＝AB＝5，

∴OD＝2OC＝10，

∴BD＝OD﹣OB＝10﹣5＝5，

∵AB＝kBD，

∴k＝＝＝2，

即k的值為2；

（3）在Rt△ABC中，∵AB＝10，∠A＝30°，

∴BC＝AB＝5，

由運動知，AP＝3t，BQ＝，

∵0＜t＜，

∴0＜AP＜10，0＜BQ＜5，

∴點P在線段AB上，點Q在線段BC上，

∵△BPQ為直角三角形，且∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，

①當∠BQP＝90°時，如圖2，

在Rt△BQP中，BP＝AB﹣AP＝10﹣3t，BQ＝t，∠ABC＝60°，

∴cos∠ABC＝＝＝，

∴t＝，

②當∠BPQ＝90°時，如圖3，

在Rt△BPQ中，cos∠ABC＝＝＝，

∴t＝，

即當t為秒或秒時，△BPQ為Rt△．