Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直徑，AC、BD交于點E，P為DB延長線上一點，且PB=BE．

（1）求證：△ABE∽△DBA；

（2）試判斷PA與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若E為BD的中點，求tan∠ADC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PA與⊙O相切，理由見解析;(3)2.

【解析】分析: （1）先判斷出弧AB=弧BC，進而得出∠ADB=∠BAE，即可得出結論；

（2）先判斷出AB是PE的垂直平分線，進而得出∠BAP=∠BAE，即可得出結論；

（3）先利用相似得出AB，進而用勾股定理的粗話AE，再判斷出△ABE∽△DCE，進而求出CD，CE，即可得出AC，即可得出結論.

詳解:

（1）證明：∵AB=BC，

∴，

∴∠ADB=∠BAE，

∵∠ABE=∠DBA，

∴△ABE∽△DBA；

（2）解：PA與⊙O相切，

理由：∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∵PB=BE，

∴AB是PE的垂直平分線，

∴AP=AE，

∴∠BAP=∠BAE，

∵∠ADB=∠BAE，

∴∠BAP=∠ADB，

∵∠DAB+∠BDA=90°，

∴∠DAB+BAP=90°，

∵點A在⊙O上，

∴PA與⊙O相切；

（3）解：設BE=DE=a，則BD=2a，

∵△ABE∽△DBA，

∴，

∴，

∴AB=a，

根據勾股定理得，AE==a，

∵，

∴∠BAE=∠CDE，

∵∠AEB=∠DEC，

∴△ABE∽△DCE，

∴，

∴，

∴CD=a，CE=a，

∴AC=AE+CE=，

∵AD是⊙O直徑，

∴∠ACD=90°，

在Rt△ACD中，tan∠ADC==2．

點睛: 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質，切線的判定和性質，線段的垂直平分線，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數，判斷出△ABE∽△DCE是解本題的關鍵.