Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標；

（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為以AQ為腰的等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在AC段的拋物線上有一點R到直線AC的距離最大，請直接寫出點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（0，﹣4）;（2）E點坐標為（﹣1，0），或（7，0）或（﹣，0）;(3) R（，﹣5）

【解析】

（1）將A，B點坐標代入函數(shù)解析式中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標．

（2）等腰三角形有兩種情況，AQ=EQ，AE=AQ．易得E坐標．

（3）求出AC解析式，設R的坐標，表示出點R到直線AC的距離，根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，可求R點坐標．

（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴

解得：

∴解析式：y=x2﹣x﹣4

∴C（0，﹣4）

（2）作QD⊥OA于D如圖1

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5

∵若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，當點P運動到B點時，點Q停止運動

∴AQ=AB=4

∵QD⊥AB，OC⊥AB

∴QD∥OC

∴

∴

∴QD=，AD=

∵以A，E，Q為頂點的三角形為以AQ為腰的等腰三角形

若當AQ=AE=4時，且A（3，0）

∴E（﹣1，0），或E（7，0）

若當EQ=AQ時，且QD⊥AB

∴DE=AD=

∴E（﹣，0）

∴E點坐標為（﹣1，0），或（7，0）或（﹣，0）

（3）設AC解析式：y=kx+b

∴

解得：

∴AC解析式：y=x﹣4

設R（x，x2﹣x﹣4），R到直線AC的距離為w

∴w=x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣）2+3

∴當x=時，w最大為3．

∴R（，﹣5）