Question

【題目】如圖，的點，在上，與相交于點，連接，，，．

（1）求圓心到弦的距離；

（2）若．

①求證：是的切線；

②求的長．

Answer 1

【答案】（1）圓心到的距離為；（2）①見解析；②．

【解析】

（1）連接OD，OC，過O作OE⊥DC于E，得到△OCD是等邊三角形，求得OD＝OC＝CD＝，解直角三角形即可得到結論；

（2）①由（1）得，△ODC是等邊三角形，求得∠OCD＝60°，證明，根據相似三角形的性質得到∠A＝∠BCD＝30°，求得∠OCB＝90°，于是得到BC是⊙O的切線；

②根據相似三角形的性質得到CB2＝ABDB，過D作DF⊥AC于F，得到∠AFD＝∠CFD＝90°，解直角三角形求出AD，再證明，即可解決問題．

解：（1）連接，，過點作于點，

∵內接于，，

∴，

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，

∴，，，

∴，即圓心到的距離為；

（2）①由（1）得為等邊三角形，

∴,

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線；

②∵，

∴，即，

過點作于點，

∴，

∵，，，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

設為，則，

解得：，

∴（），

∴．