Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點（﹣3，0），（0，﹣3）．

（1）求拋物線的表達式．

（2）已知點（m，k）和點（n，k）在此拋物線上，其中m≠n，請判斷關于t的方程t2+mt+n＝0是否有實數根，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）方程有兩個不相等的實數根．

【解析】

（1）將已知點的坐標代入二次函數列出方程組，解之即可；

（2）因為（m，k），（n，k）是關于直線x＝﹣1的對稱點，所以＝﹣1 即m＝﹣n﹣2，于是 b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（﹣n﹣2）2﹣4n＝n2+4＞0，所以此方程有兩個不相等的實數根．

（1）拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點（﹣3，0），（0，3）

9a﹣3b+c＝0

解得a＝1，b＝2，c＝﹣3

∴拋物線y＝x2+2x﹣3；

（2）∵點（m，k），（n，k）在此拋物線上，

∴（m，k），（n，k）是關于直線x＝﹣1的對稱點，

∴＝﹣1 即m＝﹣n﹣2

b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（﹣n﹣2）2﹣4n＝n2+4＞0

∴此方程有兩個不相等的實數根．