Question

【題目】如圖，在四邊形中，，點為上一點，，分別平分，.

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）若，，則四邊形的面積為______（直接寫出結果）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）24.

【解析】

（1）由平行線的性質可得∠BAD+∠ABC=180°，由角平分線的性質可得∠DAE=∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠CBE=∠ABC，可求得∠BEA=90°，即可得結論；
（2）延長AE，BC交于點F，由平行線的性質可得∠DAE=∠F=∠BAE，可得AB=BF，由等腰三角形的性質可得AE=EF，由“ASA”可證△ADE≌△FCE，可得AD=CF，即可得結論；
（3）由全等三角形的性質可得S△ADE=S△FCE，可得S四邊形ABCD=S△ABF，由三角形面積公式可求解．

證明：（1）∵AD∥BC，

∴，

又，分別平分，，

∴∠DAE=∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠CBE=∠ABC，

∴，

∴∠BEA=90°，

∴；

（2）延長AE，BC交于點F，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵∠DAE=∠F，∠AED=∠FEC，

∴，

∴，

∴；

（3））∵AE=4，
∴EF=4，
∴AF=8，
∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四邊形ABCD=S△ABF，
∴S四邊形ABCD=AF×BE=24，
故答案為：24.