Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸相交于O、B，頂點為A，連接OA．

（1）求點A的坐標和∠AOB的度數；
（2）若將拋物線向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線m，其頂點為點C．連接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說明理由；
（3）在（2）的情況下，判斷點C′是否在拋物線上，請說明理由；
（4）若點P為x軸上的一個動點，試探究在拋物線m上是否存在點Q，使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）點A的坐標為（﹣2，﹣2），∠AOB=45°。
（2）四邊形ACOC′為菱形。理由見解析
（3）點C′不在拋物線上。理由見解析
（4）存在符合條件的點Q。點Q的坐標為（6，4）。

試題分析：（1）由得，y=（x﹣2）²﹣2，故可得出拋物線的頂點A的坐標，過點A作AD⊥x軸，垂足為D，由∠ADO=90°可知點D的坐標，故可得出OD=AD，由此即可得出結論。
∵由得，y=（x﹣2）²﹣2，
∴拋物線的頂點A的坐標為（﹣2，﹣2）。
如圖1，過點A作AD⊥x軸，垂足為D，∴∠ADO=90°。
∵點A的坐標為（﹣2，﹣2），點D的坐標為（﹣2，0），
∴OD=AD=2。∴∠AOB=45°。
（2）由題意可知拋物線m的二次項系數為，由此可得拋物線m的解析式過點C作CE⊥x軸，垂足為E；過點A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點H，根據勾股定理可求出OC的長，同理可得AC的長，OC=AC，
由翻折的軸對稱性的性質可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出結論。
四邊形ACOC′為菱形。理由如下：
由題意可知拋物線m的二次項系數為，且過頂點C的坐標是（2，﹣4），
∴拋物線m的解析式為：y=（x﹣2）²﹣4，即y=x²﹣2x﹣2。
如圖，過點C作CE⊥x軸，垂足為E；過點A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點H，

∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2。
∴。
同理，AC=。
∴OC=AC。
由翻折的軸對稱性的性質可知，OC=AC=OC′=AC′，
∴四邊形ACOC′為菱形。
（3）過點C′作C′G⊥x軸，垂足為G，由于OC和OC′關于OA對稱，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根據CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根據全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出點C′的坐標把x=﹣4代入拋物線進行檢驗即可得出結論。
點C′不在拋物線上。理由如下：
如圖，過點C′作C′G⊥x軸，垂足為G，

∵OC和OC′關于OA對稱，∠AOB=∠AOH=45°，∴∠COH=∠C′OG。
∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG。
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，∴△CEO≌△C′GO。∴OG=4，C′G=2。
∴點C′的坐標為（﹣4，2）。
把x=﹣4代入拋物線得y=0。
∴點C′不在拋物線上。
（4）∵點P為x軸上的一個動點，點Q在拋物線m上，

∴設Q（a，）。
∵OC為該四邊形的一條邊，∴OP為對角線。
∴CQ的中點在x上。
∵C的坐標是（2，﹣4），
∴，解得a₁=6，a ₂=﹣2。
∴Q（6，4）或（﹣2，4）（Q、O、C在一直線上，舍去）。
∴點Q的坐標為（6，4）。