Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（x₁，0）、（2，0），且﹣2＜x₁＜﹣1，與y軸正半軸的交點在（0，2）的下方，則下列結論：
①abc＜0；②b²＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．
則其中正確結論的序號是

A．①②

B．②③

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

C。
【考點】二次函數圖象與系數的關系，一元二次方程的判別式和根與系數的關系，不等式的性質

試題分析：作出示意圖如圖，

∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（x₁，0）、（2，0），且﹣2＜x₁＜﹣1，與y軸正半軸相交，
∴a＜0，c＞0，對稱軸在y軸右側，則x=＞0，
∴b＞0。∴abc＜0。所以①正確。
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b²﹣4ac＞0，即b²＞4ac。所以②正確。
當x=2時，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+=0。
∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0。所以③錯誤。
∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（x₁，0）、（2，0），
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁，2。∴2x₁=，即x₁=。
∵﹣2＜x₁＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1。
∵a＜0，∴﹣4a＞c＞﹣2a。∴2a+c＞0。所以④正確。
綜上所述，正確結論的序號是①②④。故選C。