Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（﹣4，0），B （1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）連接AC、BC，判斷△ABC的形狀，并證明；

（3）若點P為二次函數對稱軸上點，求出使△PBC周長最小時，點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）△ABC為直角三角形，理由見解析；（3）當P點坐標為（﹣，）時，△PBC周長最小

【解析】

（1）設交點式y=a（x+4）（x-1），展開得到-4a=2，然后求出a即可得到拋物線解析式；
（2）先利用兩點間的距離公式計算出AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=25，然后利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形；
（3）拋物線的對稱軸為直線x=-，連接AC交直線x=-于P點，如圖，利用兩點之間線段最短得到PB+PC的值最小，則△PBC周長最小，接著利用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+2，然后進行自變量為-所對應的函數值即可得到P點坐標．

（1）拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

即y=ax2+3ax﹣4a，

∴﹣4a=2，解得a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；

（2）△ABC為直角三角形．理由如下：

當x=0時，y=﹣x2﹣x+2=2，則C（0，2），

∵A（﹣4，0），B （1，0），

∴AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=52=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°；

（3）

拋物線的對稱軸為直線x=﹣，

連接AC交直線x=﹣于P點，如圖，

∵PA=PB，

∴PB+PC=PA+PC=AC，

∴此時PB+PC的值最小，△PBC周長最小，

設直線AC的解析式為y=kx+m，

把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=x+2，

當x=﹣時，y=x+2=，則P（﹣，）

∴當P點坐標為（﹣，）時，△PBC周長最小．