Question

【題目】如圖，，點為內的一個動點，過點作與，使得，分別交、于點、.

（1）求證：；

（2）連接，若，試求的值；

（3）記，，，若，，且、、為整數，求、、的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），，.

【解析】

（1）利用三角形內角和定理可得出即可證明結論；

（2）結合角的三角函數以及相似三角形的性質可得出，利用，得出，最后利用勾股定理求解即可；

（3）設，則，，將式子轉化為關于x的一元二次方程求解，利用求根公式以及a，b，的取值范圍可求出c的求值范圍，再求出整數解即可；同理可以令，求a的取值范圍再求解．

解：（1）∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴．

（2）由（1）得：，

∴．

∵，

∴．

又，

∴是等腰三角形．

∴，即，

∴，即．

∵，

∴．

在中，設，則，

由勾股定理，得．

∴．

（3）解法一：由（1）知：，即，

設，則，．

∵，

∴，即（*）

又∵，

∴，即，

∴方程（*）應有根，

∴，

∴，（舍去）

由，解得：．

又∵為整數，

∴．

當時，方程（*）的根為無理數，此時不為整數，不合題意．

當時，，此時，，．

綜上所述，，，．

解法二：由（1）知：，即，

設，則，．

∵，

∴，即（*）

又∵，

∴，

即方程（*）應有根滿足．

∴或

解得：或，

∴

又∵為整數，

∴．

當時，方程（*）化為：，

解得：．

∴，．

當時，方程（*）的根為無理數，此時不為整數，不合題意．

綜上所述，，，．