Question

【題目】如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M，N分別是斜邊AB，DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD、MN．

(1)求證：△PMN為等腰直角三角形；

(2)現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α(0°＜α＜90°)，得到圖②，AE與MP，BD分別交于點G、H，請判斷①中的結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN，于是得到結論；

（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明．

(1)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，

∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，

∵∠CBD+∠BDC＝90°，

∴∠EAC+∠BDC＝90°，

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，

∴PM＝BD，PN＝AE，

∴PM＝PN，

∵PM∥BD，PN∥AE，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，

∵∠EAC+∠BDC＝90°，

∴∠MPA+∠NPC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

即PM⊥PN，

∴△PMN為等腰直角三角形；

(2)①中的結論成立，

理由：設AE與BC交于點O，如圖②所示：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．

∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BHO＝∠ACO＝90°，

∴AE⊥BD，

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PM＝BD，PM∥BD，PN＝AE，PN∥AE，

∴PM＝PN．

∵AE⊥BD，

∴PM⊥PN，

∴△PMN為等腰直角三角形．